Cálculos de areas

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Actividad 1

Propiedades de las figuras geometricas

Calculo de areas 1

 PROCEDIMIENTO DE COMO RESOLVER EL CALCULO DE AREAS


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Angulo entre parelalas

Ángulos entre paralelas

 

Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conociéramos cuanto mide uno de ellos, podríamos determinar inmediatamente los otros tres.

Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben distintos nombres. Los llamamos ángulos opuestos por el vértice cuando comparten el vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro, como sucede en los ángulos A y C. Decimos que son ángulos adyacentes cuando tienen el vértice y un lado común y los otros lados tales que uno es prolongación del otro. Son adyacentes, por ejemplo, el A y el B.

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que llamaremos transversal se forman 8 ángulos, como puedes ver en la figura. Estos ocho ángulos también guardan una estrecha relación entre sí, de modo que, como en el caso anterior, en cuanto conocemos uno de ellos podemos averiguar lo que valen los demás.

La posición relativa de los ángulos con respecto a las rectas hace que esos ángulos reciban unos nombres específicos. Así, llamamos ángulos correspondientes a los que están situados al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Son correspondientes, por ejemplo, el A y el E, o también el B y el F.

Llamamos ángulos alternos internos los que están a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Son alternos internos el B y el H y también el C y el E.

Son ángulos alternos externos los que están en la parte exterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ensayo 2400 palabras Armonia del rectangulo Aureo.

La desproporción áurea

Los números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas de las plantas, en las caparazones de moluscos, en la forma de ciertas galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito. Veamos a continuación qué hay de cierto y qué hay de mentira en tales afirmaciones.

Los sinsentidos sobre Fibonacci

Una búsqueda en internet, o en su biblioteca local lo convencerá de que la serie de Fibonacci ha atraído a más de un lunático que busca el misticismo en los números. Se puede encontrar con afirmaciones fantásticas como estas:

    Los "rectángulos de oro" son los "más bello" rectángulos, y los utilizaron deliberadamente los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre utilizaban marcos rectángulares áureos, pero no lo hacían).

    Los modelos basados en los números de Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son los más agradables a la percepción humana.

    Mozart utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban los juegos de números, pero no hay buena evidencia de que alguna vez utilizara deliberadamente a Φ en una composición).

    La secuencia de Fibonacci se ve en la naturaleza, en la disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas, en el patrón de las semillas de girasol, en las espirales de los caracoles, en el número de pétalos de las flores, en los períodos de los planetas del sistema solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores. ¡Tan omnipresente es la secuencia en la naturaleza (de acuerdo con esta gente) que uno empieza a sospechar que la serie tiene la notable capacidad de "ajustarse" a casi cualquier cosa!

    Los procesos de la naturaleza son "gobernados" por el número áureo. Inclusive, algunas fuentes dicen que los procesos naturales se "explican" por esta relación.

Por supuesto, gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.

La publicidad de la espiral de oro

La "espiral de oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectivamente como espirales logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes.

No es difícil encontrar que una de estas curvas se ajusta a un patrón particular en la naturaleza, incluso si ese patrón está sólo en el ojo del espectador. Sin embargo, el pequeño y sucio secreto de todo esto es que cuando una forma parece encajar, rara vez ese ajuste es exacto. Los ejemplos de la naturaleza que se encuentran en los libros suelen tener variaciones considerables del "ideal áureo". A veces, las curvas que dicen coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en realidad, por alguna otra espiral. El hecho de que una curva "encaja" con datos físicos no da ninguna pista acerca de los procesos físicos subyacentes que producen dichas curvas en la naturaleza. Tenemos que indagar más para encontrar esos procesos.

Muchos de los libros sobre los números de Fibonacci vienen en sus portadas con imágenes de espirales que podemos hallar en la naturaleza. Esto ayuda a vender los libros, porque a la gente le gusta las imágenes bonitas.  La naturaleza tiene muchas formas en espiral. Ninguna de ellas son espirales de oro y muchas ni siquiera se acercan. Tampoco se "explican" por la matemática de Fibonacci.

  El orden está en el ojo del espectador

A veces, los autores "magufos" de ciencia, escriben libros que intentan persuadirnos de las "falsedades de Fibonacci".

La caparazón del nautilus. Consideremos la afirmación, comúnmente vista, de que la caparazón del Nautilus pompilius se ajusta a la espiral de oro. La foto muestra un corte donde se observan las cámaras interiores. Para compararlas se ilustra una espiral dorada a la izquierda. ¡Es evidente que esta criatura no ha leído esos libros! Si se superponen ambas, no coincidirían nunca, sin importar cómo se las alinee o escale. De hecho, el dibujo de la izquierda no es del todo correcto. Está construido con segmentos de arco circular dentro de cada cuadrado. Esta curva tiene discontinuidades en su curvatura en cada cruce de un cuadrado al siguiente. La verdadera espiral de Fibonacci cambia de curvatura suavemente, aunque la diferencia no sería perceptible para el ojo a esta escala. Este diagrama muestra cómo subdividir el rectángulo áureo. Si se dibuja un cuadrado inscripto dentro de rectángulo, el área rectangular que queda es un nuevo rectángulo aúreo más pequeño. De nuevo, se puede dibujar otro cuadrado dentro de éste, y seguir así. A continuación, se unen los puntos con una curva suave, como se muestra para conseguir algo que, por lo menos, parece superficialmente la espiral de oro.

La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "misti-máticos" (o matemáticos místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral. ¿Son éstas espirales doradas o corresponden a algún otro tipo de espiral? La ecuación matemática exacta de la espiral depende de cuán lejos el pájaro decida desplegar su cola. ¿Nos dice este patrón algo científicamente importante sobre biología de las aves? Es muy poco probable.

Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en todo tipo de lugares, desde las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad, cajetillas de tabaco, en las cadenas de ADN o en la simetría atómica.

En la música la podemos encontrar en las estructuras formales de las sonatas deMozart, en la Quinta sinfonía de Beethoven o en las obras de Schubert o Debussy, que muy probablemente la aplicaron de forma inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras.

De hecho, cualquier melodía que no guarde esta proporción en sus notas, nos sonaría asonante, extraña. Hay que mencionar que la Proporción Áurea está estrechamente relacionada con la Sucesión de Fibonacci.

LA RELACIÓN MATEMÁTICA : “PHI – MEJOR”

1. PHI es la expresión matemática de “lo mejor de lo mejor”.

2. PHI es igual a mejor y a lo mejor. 3.- Mejor y lo mejor es igual a PHI.

3. Todo lo mejor es PHI. 5.- Todo lo mejor tiende a armonizarse con la armonía universal de la constante matemática PHI y con la constante PHI de la armonía universal.

4. Todo lo que es PHI es lo mejor.

5. Todo lo que es PHI tiende hacia lo mejor.

6. Es el número clave de la vida, de cómo crecemos y de cómo crece la vida, hacia lo mejor.

V.  LA CONSTANTE PHI,  SUS DIFERENTES NOMBRES Y FUNCIONES

La constante phi también es conocida con los siguientes nombres :

1. PHI,  constante PHI, relación PHI, proporción PHI, razón PHI, número PHI, efecto PHI, factor PHI .

2. Relación áurea, relación  de oro, proporción áurea, proporción  de oro.

3. Número áureo, número de oro, número de la vida, la clave de la vida.

4. Relación entre la extrema y la media razón, la división de un segmento en relación justa y extrema, sección  áurea,  sección de oro, espiral áurea , espiral de oro.

5. La proporción divina, la proporción áurea, la proporción sagrada, la proporción mágica.

6. La constante PHI es, en la geometría sagrada, el fundamento de la flor de la vida, la semilla de la vida, el árbol de la vida,  el huevo de la vida , y es el fundamento de los cinco sólidos perfectos.

VI. EL PODER PHI DE LOS PODERES PHI

Desarrollar el efecto PHI es desarrollar , expandir y profundizar  estados superiores de conciencia, con miras a desarrollar los poderes propios de las técnicas PHI, que permiten realizar, manifestar y expresar “ nuestro PHI interior”, tales como :

1. El poder de la alianza con las leyes naturales,

2. El poder de la interiorización,

3. El poder del autodominio, 

4. El poder del silencio interior,

5. El poder de la relajación,

6. El poder de la meditación,

7. El poder de la oración,

8. El poder de la comunión con la divinidad,

9. El poder de la espiritualización de la vida, 

10. El poder de la divinidad dentro de mí,

11. El poder de  la autoaceptación,

12. El poder del amor,

13. El poder del perdón,

14. El poder de la sanación,

15. El poder de la visualización,

16. El poder de la paz interior,

17. El poder del equilibrio interior,

18. el poder de la imperturbabilidad interior,

19. el poder de la invulnerabilidad,

20. El poder de la inofendibilidad,

21. El poder de la inofensividad, 

22. el poder de la magia espiritual interior,

23. El poder del milagro interior,

24. El poder del aumento de la energía vital,

25. El poder de la iluminación espiritual,

El poder de las cualidades científicas y benéficas del campo unificado :

I) de las leyes naturales,

II) de fuerzas naturales,

III) de la energía universal,

IV) de la información universal,

V) de la armonía universal,

VI)  del amor universal,

VII) de la salud universal,

VIII) y de la prosperidad universal.

Los antiguos griegos realizaban numerosas obras y edificios siguiendo esta relación, y en el Renacimiento se le dióel calificativo de la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.

El número áureo se denota por la letra griega “Φ” FI (¿o PHI?), y vale  , y como cualquier otro número matemático (Neperiano, Pi, …) surge de una expresión matemática:

Habiendo contado ya una parte de la popularidad de este número os voy a contar otras.

Este número aparece en la sucesión de Fibonacci.

Las cadenas de ADN tienen una relación matemática que es el número PHI.

Muchas características humanas tienen relaciones matemáticas que son el número PHI.

Las cajas de cigarrillos son rectángulos áureos.

Hay números que han intrigado a la humanidad desde hace siglos. Valores como PI -la razón matemática entre la longitud de una circunferencia y su diámetro- o e -la base de los logaritmos naturales-, suelen aparecer como resultado de las más dispares ecuaciones o en las proporciones de diferentes objetos naturales. El número áureo -a menudo llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción- también posee muchas propiedades interesantes y aparece, escondido y enigmático, en los sitios más dispares.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b.

La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación.

Términos con las siguientes definiciones sobre esto:

Sucesión de Fibonacci. Partiendo desde el número uno, la sucesión de Fibonacci consiste en ir sumando el resultado de la última operación con su mayor sumando.

El segmento áureo. Es un segmento dividido en dos partes de forma que se cumple la igualdad (a+b)/a = a/b, donde (a+b) es el total del segmento, a la parte más grande y b la parte de menor tamaño.

Número de oro. Conocido desde hace siglos, el número de oro –también llamado número fi o número áureo.

Seguimos hablando de la supuesta relación entre la divina proporción y la divinidad, porque no son pocos los que aseguran que la Biblia está salpicada de referencias a este concepto. Por un lado, es una forma que parece gustar a Dios, puesto que tanto en las instrucciones para el Arca de la Alianza que dio a Moisés, como las que dio a Noé para la otra arca, pide unas proporciones 5x3 (casualmente, dos números de la sucesión de Fibonacci) que dan como resultado 1,666, suficientemente cercano a phi como para engañar al ojo. Puestos a encontrar, hay quien encuentra relación entre 666, el número del anticristo, y el número áureo.

Áureo, dorado, divino... A este número se le han dado muchos nombres, pero su símbolo lo hace inequívoco: es la letra griega phi, en honor al escultor griego Fidias, cuyas obras se consideraban lo más cercano a la perfección estética, igual que lo es la proporción áurea. El símbolo se lo adjudicó en el año 1900 el matemático Mark Barr.

Puede que el número áureo tenga un origen divino, o puede que no. Pero desde luego su pariente aritmética, la sucesión de Fibonacci, surgió de un problema mucho más mundano, relacionado con la reproducción de los conejos, que planteó Leonardo Pisano, Fibonacci, en su Libro del ábaco en 1202.

La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.

21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377

89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597

De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597

Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos Esto es todo.